در اندازه گیری تغییرات زمان لرزه ای در حوزه فرکانس زمان با تجزیه و تحلیل طیف متقاطع موجک

Shujuan Mao ، Aurélien Mordret ، میشل Campillo ، Hongjian Fang ، Robert D Van Der Hilst ، در مورد اندازه گیری تغییرات سفر لرزه ای در حوزه زمان و فرکانس با تجزیه و تحلیل متقاطع موجک ، مجله ژئوفیزیکی بین المللی ، جلد 221 ، شماره 1 ، آوریل 2020، صفحات 550-568 ، https://doi. org/10. 1093/gji/ggz495

خلاصه

توزیع مکانی تغییرات زمانی در موج لرزه ای برای درک منابع و مکانیسم های فیزیکی فرآیندهای مختلف ژئوفیزیکی مهم است. تصویربرداری از تغییرات Wavespeed نیاز به اندازه گیری دقیق تاخیر در زمان سفر با وضوح زمان بالا و فرکانس دارد. با این حال ، روش های سنتی برای برآورد تغییر زمان از وضوح محدود آنها رنج می برد. در این مقاله ما یک روش جدید ، روش موجک را برای اندازه گیری تغییرات زمان سفر در دامنه زمان و فرکانس پیشنهاد می کنیم. این روش مبتنی بر تجزیه و تحلیل طیف متقاطع موجک است و می تواند در حالی که از نظر محاسباتی کارآمد است ، وضوح مشترک بهینه-فرکانس را ارائه دهد. این می تواند نه تنها با CODA بلکه در امواج سطح پراکنده حتی در حضور پرش چرخه نیز سروکار داشته باشد. با استفاده از CODA مصنوعی ، ما نشان می دهیم که روش موجک می تواند تغییرات زمان سفر را به طور پایدار و دقیق تر از روش های سنتی بازیابی کند. یک برنامه در میدان زمین گرمایی دریای سالتون نشان می دهد که روش موجک کمتر تحت تأثیر لکه دار شدن طیفی قرار می گیرد و تغییرات بهتر D V / V را در فرکانس های مختلف تبعیض می کند. علاوه بر این ، پس از تحقیقات در مورد CODA مصنوعی ، ما نشان می دهیم که تعصب در اندازه گیری D V / V به دلیل تغییر در محتوای فرکانس منبع ، احتمالاً با روش های سنتی یا با روش جدید موجک ناچیز است. روش موجک در برنامه های تداخل سنجی لرزه ای که هدف از آن پیدا کردن تغییرات در فضا است ، می چرخد.

1. معرفی

تغییرات زمانی سرعت انتشار امواج لرزه ای ، که با آشفتگی در خصوصیات الاستیک مواد پوسته همراه است ، اطلاعاتی در مورد تغییرات زمانی میدان استرس ، سیال و خسارت در محیط ارائه می دهد. تغییرات موقت wavespeed برای درک فرآیندهای پویا در مشکلات مختلف ژئوفیزیکی ، از جمله نظارت بر آتشفشانها مورد بررسی قرار گرفته است (Ratdomopurbo & Poupinet 1995 ؛ Sens-Schönfelder & Wegler 2006 ؛ Brenguier et al. 2008a ؛ Mordret et al. 2010) ، پاسخ دهانه ای به دهانه های بزرگزمین لرزه ها (Niu et al. 2003 ؛ Vidale & Li 2003 ؛ Schaff & Beroza 2004 ؛ Brenguier et al. 2008b ، 2014 ؛ Chen et al. 2010 ؛ Froment et al. 2013 ؛ Wang et al. 2017) ، رویدادهای لغزنده آهسته (Rivetو همکاران 2011 ، 2013) ، و تغییرات مرتبط با محتوای آب (Sens-Schönfelder & Wegler 2006 ؛ Hillers et al. 2014 ؛ Rivet et al. 2015 ؛ Lecocq et al. 2017) ، Tides (Yamamura et al. 2003 ؛ Hillersو همکاران 2015a ؛ مائو و همکاران 2019 ؛ Sens-Schönfelder & Eulenfeld 2019) و توده ورق یخ (Mordret و همکاران 2016).

اندازه گیری تغییرات در موج لرزه ای می تواند با استفاده از شکل موج از منابع متنوع ، مانند زمین لرزه های یکسان انجام شود (Poupinet et al. 1984 ؛ Ratdomopurbo & Poupinet 1995 ؛ Schaff & Beroza 2004 ؛ Peng & Ben-Zion 2006 ؛ Rubinstein et al. 2007). آزمایش های منبع فعال (Reasenberg & Aki 1974 ؛ Yamamura et al. 2003 ؛ Niu et al. 2008 ؛ Wang et al. 2008) و اخیراً همبستگی های متقابل سر و صدای محیط (Sens-Schönfelder & Wegler 2006 ؛ Brenguier et al. 2008a ، b؛ Rivet et al. 2011 ؛ Olivier et al. 2015 ؛ Mordret et al. 2016). با استفاده از این شکل های موج ، می توان با تجزیه و تحلیل زمان ورود موج های مستقیم ورود ، تغییرات سرعت را رصد کرد (لاری و همکاران 1979 ؛ دی ریدر و همکاران 2014 ؛ مردرت و همکاران 2014 ، 2019 ؛ Brenguier و همکاران 2019) ، یا در غیر این صورت ، در همین حالسفر پیشرونده از امواج بعدی ، یعنی Coda (Niu et al. 2003 ؛ Schaff & Beroza 2004 ؛ Brenguier et al. 2008a) تغییر می کند. رویکرد دوم ، توسط پوپینت و همکاران ارائه شده است.(1984) و بعداً تحت اصطلاح تداخل سنجی موج Coda (CWI ، Snieder و همکاران 2002 ، Snieder 2006) ، در تشخیص تغییرات سرعت ضعیف به ترتیب 0. 01 درصد برتری دارد (رابرتز و همکاران 1992 ؛ بافندهو همکاران 2009 ؛ مائو و همکاران 2019). این دقت بالا از این واقعیت ناشی می شود که امواج پراکنده چندگانه تغییرات متوسط را در طول مسیرهای خود جمع می کنند ، که طول آن با گذشت زمان افزایش می یابد و بنابراین نسبت به امواج بالستیک نسبت به آشفتگی ها بسیار حساس تر هستند. با این حال ، تکنیک های فعلی برای اجرای CWI تمام نیازهای نظارت بر برنامه ها را برآورده نمی کند.

در ابتدا ، مهمترین هدف نظارت بر تغییر زمانی ، شناسایی و شناسایی آشفتگی ها بود ، صرف نظر از نحوه توزیع منابع آشفتگی ها در فضا. در واقع ، برای بیشتر مطالعات قبلی در مورد تغییرات سرعت ، یک فرض مهم این است که تغییر سرعت نسبی (D V / V) قبل و بعد از آشفتگی از نظر مکانی یکدست در کل محیط نمونه است. در این مورد ساده ترین ، تغییر زمان سفر بین شکل های موج CODA فعلی (آشفته) و مرجع (بدون فشار) انتظار می رود که با زمان تاخیر T به صورت خطی افزایش یابد و تغییر نسبی سفر (D T / T) ثابت باشد. این ثابت ، که مستقل از T است ، برعکس تغییر سرعت نسبی (D T / T = −D V / V) را به همراه دارد.

با این حال ، اکثر رسانه های مورد علاقه همگن نیستند. علاوه بر این ، تغییرات سرعت زیرسطحی به طور معمول تحت تأثیر انواع فرآیندهای تکتونیکی و غیر تکتونیکی قرار می گیرد و برای هر فرآیند ، تغییرات مختلف از نظر مکانی شایع تر از موارد همگن است. در حالی که رویکرد فوق الذکر فقط به طور متوسط D V / V از همه فرآیندهای مختلف جمع می شود ، کلید درک علل و مکانیسم های فیزیکی فرآیندهای مختلف تعیین توزیع مکانی تغییرات است.

یک رویکرد ساده برای یافتن تغییرات با نسبت دادن D V / V اندازه گیری شده در هر جفت گیرنده یا به منطقه در مجاورت این جفت (Brenguier et al. 2008a ، 2014 ؛ Chen et al. 2010) یا دقیقاً در دو گیرنده(هبیگر و همکاران 2012). با این حال ، این فقط یک تقریب مرتبه اول از تغییرات جانبی D V / V را فراهم می کند. در حقیقت ، برای آشفتگی های ناهمگن ، تغییر زمان سفر به دور از یک عملکرد خطی از زمان پس انداز T است ، زیرا امواج Coda در زمان های مختلف و فرکانس های نمونه ای از آشفتگی های نمونه ای که در قسمت های مختلف رسانه قرار دارند (Pacheco & Snieder 2005 ؛ LaRose et etAl. 2010 ؛ Kanu & Snieder 2015 ؛ Margerin et al. 2016). بنابراین ، برای تصویربرداری کامل آشفتگی های سرعت ، بررسی تغییرات تغییر زمان سفر در فرکانس های مختلف و به همان اندازه مهم ، در زمان های مختلف بسیار مهم است. روشهای پیشرفته ای که دقیقاً می توانند D T وابسته به زمان و فرکانس را تهیه کنند ، از این رو مورد توجه اولیه هستند.

در حال حاضر سه نوع روش برای اندازه گیری تغییرات زمان سفر در CWI وجود دارد: (1) روش همبستگی متقابل پنجره [که می تواند در حوزه فرکانس انجام شود (Poupinet و همکاران 1984) ، از این پس به عنوان روش دوبل یا به موقع یاد می شود.-Domain (Snieder et al. 2002)] ، (2) روش کششی (Lobkis & Weaver 2003 ؛ Sens-Schönfelder & Wegler 2006) و (3) روش پیچش زمان پویا (Mikesell et al. 2015). در میان آنها روش دوبل و روش کششی بیشتر در مطالعات قبلی مورد استفاده قرار می گیرد (Poupinet et al. 1984 ؛ Sens-Schönfelder & Wegler 2006 ؛ Brenguier et al. 2008a ، b ؛ Hadziioannou et al. 2009). با این وجود ، اشکال مهم این روشها این است که همه آنها در یک محدوده فرکانس گسترده انجام می شوند و در نتیجه فاقد وضوح طیفی هستند. علاوه بر این ، فرض اساسی روش کشش برای تغییر سرعت ناهمگن معتبر نیست ، در حالی که روش دوبل از تجارت بین وضوح ، پایداری و هزینه محاسباتی رنج می برد.

در این مقاله ، ما یک رویکرد برای اندازه گیری تغییر زمان سفر لرزه ای با وضوح بالا برای زمان و فرکانس پیشنهاد می کنیم. این روش مبتنی بر تجزیه و تحلیل طیف متقاطع موجک است و در بقیه این مقاله به عنوان روش موجک گفته می شود. این روش موجک می تواند به طور دقیق و به طور پایدار تغییرات زمان سفر متغیر را با وضوح طیفی ظریف تر از روشهای موجود (منتشر شده) اندازه گیری کند. این اندازه گیری های تغییر زمان با وضوح زمان و فرکانس بالا برای تجزیه و تحلیل بیشتر با استفاده از هسته های حساسیت وابسته به فرکانس واجد شرایط هستند (لاروز و همکاران 2010 ؛ اوبرمن و همکاران 2013 ، 2016 ، 2019 ؛ Kanu & Snieder 2015 ؛ Margerin et al. 2016 ؛ Mordret و همکاران 2019) برای به دست آوردن توموگرافی مشخصات آشفتگی سرعت.

در بخش های بعدی ، ابتدا روشهای سنتی را مرور می کنیم و روش جدید موجک را معرفی می کنیم. ما سپس اجرای و سودمندی روش موجک را با تست های مصنوعی در دو سناریو مختلف نشان می دهیم. در مرحله بعد ، ما استحکام روشهای مختلف را با توجه به تغییرات در محتوای طیفی منبع بررسی می کنیم. ما روش موجک را به داده های یک مخزن زمین گرمایی اعمال می کنیم تا امکان سنجی آن را در داده های واقع گرایانه نشان دهیم. سرانجام ، ما در مورد مزایا و محدودیت های روش موجک بحث می کنیم.

2 روش برای تداخل سنجی موج Coda (CWI)

در CWI ، شکل های موج مرجع و جریان می توانند توسط منابع تقریباً یکسان یا توابع سبز که توسط همبستگی های متقابل نویز در زمان های مختلف بازسازی می شود ، ایجاد شود. در اینجا ما ابتدا دو روش را مورد استفاده قرار می دهیم که به طور گسترده در CWI برای اندازه گیری تغییر سرعت ، یعنی روش دوبل و روش کشش استفاده شده و سپس روش موجک را ارائه می دهیم.

2. 1 رویکردهای سنتی

2. 1. 1 روش دوبله

یک رویکرد کلاسیک در تداخل سنجی موج Coda ، روش دوبل است که نام آن از کاربرد اولیه آن در اندازه گیری D V / V بین دوبل های زلزله ناشی می شود (Poupinet و همکاران 1984). این روش همچنین به عنوان تکنیک متقاطع متقاطع در حال حرکت شناخته می شود (Fréchet et al. 1989 ؛ Clarke et al. 2011). مروری بر جزئیات فنی روش دوبل در پیوست کلارک و همکاران ارائه شده است.(2011). در اینجا ما فقط ایده اصلی آن را برای هموار کردن راه برای مقایسه های بعدی با روش موجک شرح می دهیم.

روش Doublet به طور جداگانه و مکرر در یک سری از پنجره های کشویی کوتاه در طول زمان تاخیر عمل می کند. در هر پنجره ، فرض بر این است که D T ثابت است و بخش شکل موج فعلی یک نسخه تغییر یافته از مرجع در نظر گرفته می شود. برای هر پنجره ، ابتدا تفاوت بین طیف فاز بخش های موج فعلی و مرجع را محاسبه می کند ، یعنی فاز | $ phi (f) $ |از طیف متقاطع دو شکل موج در این پنجره. سپس یک اتصالات خطی از | $ phi (f) $ |بیش از فرکانس f محاسبه می شود ، شیب آن در این پنجره باز می شود. D T اندازه گیری شده برای هر پنجره کوچک به زمان گذر در مرکز آن پنجره اختصاص می یابد. اگر آشفتگی یکدست باشد ، D V / V با خلاف شیب یک D T در مقابل رگرسیون خطی t داده می شود. اگر اینگونه نباشد ، اندازه گیری D T در زمان مختلف با گذشت باید بیشتر مورد تجزیه و تحلیل قرار گیرد تا تغییرات سرعت ناهمگن درک شود.

یکی از مشکلات در استفاده از روش دوبلت مربوط به طول پنجره های کشویی است. از یک طرف، طول پنجره باید به اندازه کافی کوتاه باشد تا با برآورده کردن فرض تغییر زمانی ثابت در هر پنجره، اندازه گیری های دقیق d t را تضمین کند، و همچنین برای به دست آوردن وضوح خوب در زمان گذر. از طرف دیگر، طول پنجره باید به اندازه ای باشد که نمونه های کافی برای اندازه گیری صحیح جابجایی بین دو شکل موج داشته باشد. همچنین نشان داده شده است که طول پنجره های طولانی تر به حذف پرش چرخه کمک می کند (Mikesell et al. 2015). بنابراین، انتخاب طول پنجره متحرک نیاز به ملاحظاتی در رابطه بین دقت، وضوح زمانی و پایداری اندازه گیری های d t دارد. در اکثر مطالعات قبلی، طول پنجره ها برابر (وانگ و همکاران 2017؛ تایرا و همکاران 2018) یا بزرگتر از (برنگویر و همکاران 2008a؛ هیلرز و همکاران 2015b؛ موردرت و همکاران 2016) طولانی ترین انتخاب شده است. دوره مورد علاقه

نگرانی دیگر وضوح فرکانس است. برازش خطی |$phi (f)$|بیش از f در یک محدوده فرکانسی از پیش تعریف شده اجرا می شود. برای پایداری رگرسیون، این محدوده باید به اندازه کافی گسترده باشد زیرا تعداد نقاط نمونه برداری در هر پنجره متحرک معمولاً محدود است. به عنوان مثال، با طول پنجره کمی بزرگتر از طولانی ترین دوره، یک قانون کلی این است که محدوده ای را انتخاب کنید که در آن نسبت حداکثر فرکانس به فرکانس کمتر از چهار نباشد (هیلرز و همکاران 2015b؛ کلمنتز و دنول 2018؛ تایراو همکاران 2018؛ مائو و همکاران 2019). اما محاسبه میانگین dt در این محدوده فرکانس وسیع منجر به وضوح فرکانس پایین می شود که مانع از وضوح تصویربرداری اختلالات سرعت می شود، به ویژه زمانی که d t به طور قابل توجهی با فرکانس متفاوت است. علاوه بر این، مطالعه تغییرات d t برای فرکانس های مختلف مستلزم انجام محاسبات مشابه به طور مکرر در باندهای فرکانسی متعدد است که از نظر محاسباتی گران است.

2. 1. 2 روش کشش

روش کششی شکل موج فعلی را به عنوان یک نسخه خطی کشیده یا فشرده شده مرجع با فرض آشفتگی های همگن در نظر می گیرد (Lobkis & Weaver 2003 ؛ Sens-Schonfelder & Wegler 2006). این روش D T / T را تعیین می کند ، یا | $- $ |D V/V ، به عنوان نسبتی که ردیابی مرجع در طول محور زمان گشاد شده یا فشرده می شود تا ضریب همبستگی متقابل را با شکل موج فعلی به حداکثر برساند. مزایای اصلی این روش شامل توانایی آن در مقابله با D V / V بزرگ و ثبات در برابر نویز در داده ها است (Hadziioannou و همکاران 2009 ؛ وگلر و همکاران 2009). هنگامی که برای کل شکل موج اعمال می شود (Lobkis & Weaver 2003 ؛ Sens-Schonfelder & Wegler 2006) ، با این حال ، روش کششی در مورد تغییرات وابسته به زمان تاخیر در D T / T و فرض کشش خطی بین دو مورد توجه نمی کندشکل موج برای آشفتگی های ناهمگن وجود ندارد. علاوه بر این ، مانند روش دوبل ، روش کشش در یک باند فرکانس گسترده انجام می شود و وضوح فرکانس نسبتاً کم دارد. علاوه بر این ، استدلال شده است که با تغییر روش کششی در محتوای فرکانس منبع می تواند اندازه گیری های حیرت انگیز از تغییر سرعت را به همراه داشته باشد (ژان و همکاران 2013) ، اما ما نتایج متفاوتی را پیدا می کنیم که در بخش 4 مورد بحث قرار خواهد گرفت.

2. 2 رویکرد جدید: روش موجک

2. 2. 1 اصل

تجزیه و تحلیل موجک ابزاری قدرتمند برای مطالعه سیگنال های غیر ثابت با تجزیه در فضای زمان و فرکانس است. جزئیات نظری این ابزار را می توان در Daubechies (1992) و Mallat (1999) یافت. تجزیه و تحلیل موجک وعده در کاربردهای مختلف ، از جمله در لرزه نگاری نشان داده است (یوموگیدا 1994 ؛ گائو و همکاران 1999 ؛ کریستکووی و همکاران 2006 ؛ بیکر 2007 ؛ نیش 2014). توانایی تجزیه و تحلیل موجک برای استخراج ویژگی های محلی و فرکانس محلی در سیگنال های متغیر زمانی ، آن را برای مشکل ما مناسب می کند. در اینجا ، ما استفاده خود را در تبدیل مداوم موجک (CWT) محدود می کنیم ، که منجر به استخراج با وضوح بالا و برخلاف تبدیل موجک گسسته می شود. ما تجزیه و تحلیل خود را با استفاده از جعبه ابزار موجک در MATLAB R2018A پیاده سازی می کنیم.

تبدیل موجک با یک موجک مادر | $ تعریف شده است<psi _0>( eta) $ | u2060 ، که تابعی با میانگین صفر است و در زمان و فرکانس بومی سازی شده است (Farge 1992 ؛ Torrence & Compo 1998). انتخاب یک موجک مناسب مادر در بخش 2. 2. 2 مورد بحث قرار خواهد گرفت. با توجه به یک سری زمانی گسسته (u2060 | $ $ | u2060 ، n = 1 ،… ، n) با فاصله زمانی یکنواخت | $ tau $ | u2060 ، CWT آن به عنوان پیچیدگی های | $ $ |با یک سری نسخه های گشاد شده و ترجمه شده از نرمال | $<psi _0>( eta) $ | u2060:

جایی که S نشان می دهد که موجک چقدر مقیاس شده است (گشاد شده) ، N نمایه ای از شاخص زمانی است که موجک پس از ترجمه بومی سازی می شود و (*) نشان دهنده ترکیب پیچیده است (Torrence & Compo 1998 ؛ Grinsted et al. 2004). هر مقیاس S با یک فرکانس f پیروی از روابط تحلیلی که می تواند برای توابع خاص موجک حاصل شود ، مطابقت دارد (مایرز و همکاران 1993). در هر مقیاس موجک برای داشتن انرژی واحد عادی شده است.

Similar to the Fourier transform, the CWT can provide power and phase information separately. The amplitude, |$| ( )> |$|u2060 , is the square root of local power and the angle, |$arg( ( )> )$|u2060 , is the local phase at each lapse-time and scale (or frequency). In the time frequency space of |$>$ | u2060 ، منطقه ای که به طور بالقوه تحت تأثیر آثار باستانی لبه قرار گرفته است ، مخروط نفوذ نامیده می شود (Coi ، Mallat 1999). COI را می توان پس از Torrence & Compo (1998) به عنوان منطقه طیفی محاسبه کرد که در آن موج های گشاد شده از لبه های سیگنال امتداد دارند. فراتر از COI ، عوارض لبه ناچیز است ، اما در COI طیف موجک باید با احتیاط تفسیر شود.

در تداخل سنجی لرزه ای ، به طور معمول ، یک دنباله زمان مرجع و یک جریان فعلی (u2060 | $ $$ |و | $ $ | به ترتیب) با شکل موج مشابه مقایسه می شوند (شکل 1A). تبدیل موجک متقاطع (XWT) یا طیف متقاطع موجک از | $$ |و | $ $ |به عنوان ... تعریف شده است:

یک تصویر مفهومی از الگوریتم روش موجک برای اندازه گیری شیفت های زمان سفر.(الف) شکل های موج مرجع و فعلی.(ب) مرحله دو CWT در حوزه زمان و فرکانس.(ج) اختلاف فاز 2 بعدی بین دو CWT.(د) اختلاف زمان | $ Delta t () $ |در دامنه زمان و فرکانس. نقاط غیر عادی (به رنگ آبی-ایش یا نارنجی قرمز) در C و D به دلیل خطای اندازه گیری در مکان های کم مصرف محلی مربوط به نقاط زرد مایل به زرد در شکل 3 (C) است. خطوط متراکم سفید در B-D نشانگر مخروط نفوذ (COI) است ، و این منطقه را نشان می دهد که اثرات لبه قابل توجه است.

| $ |<>( )>| $ |محصول دامنه CWTS | $ $ |و | $ $ | u2060 ، و | $ arg (<>( )>) $ |تفاوت فاز بین این دو است:

By transforming parameters s and n into f and t , respectively, |$arg(>( )>) $ | u2060 ، فاز طیف متقاطع موجک ، | $<phi _>() $ |(شکل 1C) ، که اختلاف فاز بین دو شکل موج در هر فرکانس F و هر زمان T به صورت T است. سرانجام ، زمان تغییر | $ delta t () $ |در کل زمان - فرکانس فرکانس توسط:

سپس می توان تغییرات سرعت را با الگوهای مختلف مکانی از | $ Delta t () $ |(شکل 1D). ما در مورد نحوه انتخاب با کیفیت بالا | $ Delta t () $ |اندازه گیری و به چندین روش ممکن برای استخراج توزیع مکانی آشفتگی های سرعت در بخش 2. 2. 2 مراجعه کنید. اما جزئیات بیشتر این بخش از مشکل فراتر از محدوده روش موجک است. در این مقاله ، نمونه هایی از برآورد تغییر سرعت با تنها مدل های ساده در بخش 3 - 5 را نشان خواهیم داد.

2. 2. 2 اجرای

انتخاب عملکرد موجک مادر

موجک باید شکلی داشته باشد که ویژگی های سری زمانی را منعکس کند. به عبارت دیگر ، توابع یکدست متفاوت برای لرزه نگاری مناسب تر از توابع شبیه به جعبه هستند. یکی از پرکاربردترین موج های مادر ، موجک Morlet است که برای اولین بار در لرزه نگاری اکتشافی پیشنهاد شد (مورلت و همکاران 1982a ، ب). موجک مادر Morlet از یک موج هواپیما که توسط یک گاوسی تعدیل شده است ، تشکیل شده است که در حوزه زمان تعریف شده است:

موجک باید تحلیلی باشد ، یعنی تبدیل فوریه آن برای همه فرکانس های منفی صفر است. موجک مادر تحلیلی در دامنه فرکانس به این صورت تعریف شده است:

موجک های مختلف دارای گسترش 2-D مختلف در فضای فرکانس زمان و در نتیجه قطعنامه های مختلف و فرکانس هستند. موجک دیگر را در نظر بگیرید ، به عنوان مثال ، موجک تعمیم یافته مورس (Lilly & Olhede 2009) ، که در دامنه فرکانس با پارامترهای P و | $ gamma $ | تعریف شده استمانند:

موجک تحلیلی مورس ، به عنوان مثال با | $ [] = [] $ |(شکل 2a) ، وضوح زمان بهتری دارد اما وضوح فرکانس ضعیف تر از موجک تحلیلی Morlet با | $<omega _0>= 6 $ |(شکل 2B). قضیه اصل عدم اطمینان ، محدودیت پایین تر در منطقه گسترش زمان و فرکانس هر موجک را نشان می دهد:

where |$>t$| and |$> امگا $ |پهنای باند زمان و فرکانس موجک به ترتیب [برای تعاریف دقیق از پهنای باند زمان و فرکانس] به ملات (1999) مراجعه کنید.

(الف) سری زمانی با ارزش واقعی (پانل فوقانی) و توزیع فرکانس زمان (پانل پایین) موجک مورس تعریف شده در Eq.(9) با | $ [] = [] $ | u2060.(ب) همان چیزی که در یک موجک Morlet تعریف شده در Eq.(7) با | $<omega _0>= 6 $ | u2060.

$ |<omega _0>| $ |

در این مطالعه ، ما وزن تعریف شده در Eqs (12) و (13) را برای آزمایش مصنوعی در بخش 3. 1 (با استفاده از امواج Coda) و بخش 3. 2 (با استفاده از امواج مستقیم) اعمال می کنیم.

سرعت تصویربرداری در فضا از ΔT (F ، T) تغییر می کند

از اندازه گیری شیفت های سفر 2 بعدی | $ Delta t () $ | u2060 ، می توان از روشهای مختلفی برای تصویربرداری از توزیع مکانی تغییرات سرعت بسته به مدل های آشفتگی استفاده کرد.<cdot >$| is a smoothing operator in both time and scale, which is necessary to avoid coherence values being identically one at all times and frequencies (Liu ( 1994); similar to the Fourier cross-spectrum coherence). The exact smoothing protocol is dependent on the choice of wavelet. For the Morlet wavelet used in this paper, we choose a boxcar window (with 3 scales length) in the scale direction and a Gaussian window of width ‘s’ ( u2060|$/(> )>>برای سناریوهایی که شامل آشفتگی های سرعت کاملاً ناهمگن ، هسته های حساسیت موج CODA اخیراً توسعه یافته است (Pacheco & Snieder 2005 ؛ Larose et al. 2010 ؛ Obermann et al. 2013 ، 2016 ، 2019 ؛ Planès et al. 2014 ؛ Matoror et al. 2014 ؛ Kanuu ؛& Snieder 2015 ؛ Margerin et al. 2016) را می توان مستقیماً روی | $ Delta t () $ |برای بازیابی توزیع کامل مکانی تغییرات سرعت.

2. 2. 3 خلاصه ای از مراحل اصلی

(a) The smoothed version of the 2-D time-shifts in Fig. 1(d). (b) The wavelet coherence corresponding to Fig. 1 as defined in eq. ( 11). (c) The amplitude in logarithmic scale of the wavelet cross-spectrum |$>یک عملکرد مناسب موجک مادر را انتخاب کنید.

محاسبه تبدیل های موجک مداوم (CWT) مرجع و شکل موج فعلی (شکل 1B).

$ |از دو CWT ، و طیف فاز خود را بدست آورید | $<>( )>() $ |(شکل 1C).<phi _>تقسیم | $<mathscr >() $ |توسط | 2 $ pi f $ |در هر فرکانس و زمان به دست آوردن | $ Delta t () $ |(شکل 1d ، با فرض عدم پرش از چرخه).

where |$>یک عملکرد وزنه برداری را برای | $ Delta t () $ | u2060 تعریف کنید.

استفاده از | $ delta t () $ |برای استخراج تغییرات سرعت (فراتر از محتویات روش موجک).

3. تست های مصنوعی

در این بخش ، عملکرد روش موجک را با لرزه نگاری مصنوعی نشان می دهیم. ابتدا از Coda مصنوعی شبیه سازی شده برای مدل های سرعت قبل و بعد از یک آشفتگی همگن استفاده می کنیم و اندازه گیری D V/V را با استفاده از روش های موجک و دوبل مقایسه می کنیم. ثانیاً ، ما از امواج سطح مصنوعی ، شامل آشفتگی های وابسته به فرکانس استفاده می کنیم تا نشان دهیم که چگونه روش موجک با پراکندگی و پرش از چرخه سروکار دارد.

For depth-dependent velocity perturbations, one way is to use coda waves and compute linear regressions of |$delta t( )$| verses t for each single f to get |$delta $| t/t , or d v/v , at different depth. An alteative way using surface waves (Wu et al . 2016; Mordret et al . 2019) is to first calculate the relative changes of Rayleigh wave phase velocity |$frac>( f )$| at different frequencies by |$- frac>>( f )>>$|u2060 , then invert for the shear wave velocity changes at different depth |$frac>( z )$| using the depth sensitivity keel |$>>( )$|u2060 .

3. 1 همگن D V/V از Coda مصنوعی اندازه گیری شد

ما یک مثال با استفاده از شبیه سازی های الاستیک CODA مصنوعی برای یک مورد ساده D V/V یکدست در یک محیط ناهمگن ارائه می دهیم ، تا نشان دهیم که چگونه روش موجک اجرا شده و در برابر اندازه گیری ها با روش کلاسیک دوبل مقایسه می شود.

/ sqrt 3 $ |و چگالی | $ = 0. 23 cdot

$ |(گاردنر و همکاران 1974). در این شبیه سازی ، فاصله شبکه 0. 08 کیلومتر ، مرحله زمانی 0. 002 ثانیه است و منبع یک موجک گاوسی با پهنای باند زمانی 0. 72 ثانیه است. ناهمگونی ها توسط یک همبستگی از نوع فون-کرمان مانند اوبرمن و همکاران تولید می شوند.(2013) و طول همبستگی 2 کیلومتر است که با طول موج غالب قابل مقایسه است. مدل فعلی با افزایش یکنواخت سرعت در مدل مرجع با 0. 05 درصد ، یعنی یک D V/V ثابت 0. 05 درصد در کل محیط بدست می آید. ما لرزه نگاری مصنوعی را با استفاده از یک کد اختلاف محدود 2 بعدی تولید می کنیم (لی و همکاران 2014) ، با یک سطح آزاد در بالا و مرزهای جذب کننده برای سه طرف دیگر.

Calculate the wavelet cross-spectrum |$>مدل ها و مصنوعی برای شبیه سازی موج CODA.(الف) مدل سرعت پس زمینه یکنواخت.(ب) ناهمگونی های تصادفی. مدل سرعت مرجع نهایی که برای شبیه سازی استفاده می شود ، مجموع A و B است.(ج) تفاوت نسبی ، یعنی D V/V ، بین مدل های فعلی و مرجع.(د) لرزه نگاری مصنوعی توسط شبیه سازی اختلاف محدود الاستیک 2 بعدی.(ه) نمای بزرگنمایی از CODA مصنوعی ، تفاوت کمی بین جریان و مرجع نشان می دهد.(f) طیف های Codas بین 18. 65 و 35 ثانیه از لرزه نگاری مصنوعی.<phi _>لرزه نگاری مصنوعی برای 0-40 ثانیه از زمان گذشت در شکل 4 (d) نشان داده شده است ، با نمای بزرگنمایی بخشی از Coda در شکل 4E). ما از CODA از 18. 65 ثانیه (حدود سه بار از زمان ورود S) به 35 ثانیه برای محاسبه شیفت های زمان سفر ، با روش های دوبل و موجک استفاده می کنیم. طیف دامنه CODA در شکل 4 (F) نشان داده شده است. ما پنج باند فرکانس ، 0. 6-1. 2 هرتز ، 0. 75-1. 5 هرتز ، 1. 1-2. 2 هرتز ، 1. 6-3. 2 هرتز و 2. 4-4. 8 هرتز را انتخاب می کنیم. با استفاده از روش Doublet ، D T برای هر یک از پنج باند محاسبه می شود ، با طول پنجره قابل مقایسه با موجک Morlet (با | $

= 6 $ | u2060) در هر باند فرکانس. با استفاده از روش موجک ، D T را با وضوح فرکانس بالا محاسبه می کنیم ، اما فقط اندازه گیری های نقشه به طور متوسط بر روی هر باند فرکانس برای تسهیل مقایسه با نتایج با استفاده از روش دوبل. در شکل 5 (a) و (c) نمایش داده می شود در طول زمان از بین رفته برای هر باند فرکانس ، و شکل 5 (b) و (د) توزیع احتمال مشتقات D T اندازه گیری شده از مقادیر مدل شده ، با استفاده از دو روشبه ترتیب.<phi _>با استفاده از روش دوتایی: (الف) جابجایی های زمانی به عنوان تابعی از زمان گذشت اندازه گیری شده برای پنج باند و (ب) توزیع احتمال همه باقیمانده های اندازه گیری dt از مدل. با استفاده از روش موجک: (ج) اندازه گیری های جابجایی زمانی در امتداد زمان گذشت به طور میانگین در هر باند فرکانسی و (د) توزیع احتمال تمام باقیمانده های اندازه گیری dt از مدل.(ه) d v/v با استفاده از روش دوتایی (در الماس های رنگی) و روش موجک (در دایره های رنگی) برای پنج باند فرکانسی (رنگ های هر باند مطابق با رنگ های a و c) و با استفاده از روش موجک درهر فرکانس (در دایره های کوچک سیاه). خط خاکستری چین نشان دهنده مقدار مدل d v/v است.

در این مثال با مدل ساده یک تغییر سرعت یکنواخت، dt محاسبه شده با هر دو روش (شکل 5a و c) روندهای خطی واضح و ثابت را برای همه باندهای فرکانسی نشان می دهد. با این حال، اندازه گیری های روش دوتایی (شکل های 5a و b)، انحرافات تصادفی اما غیر قابل اغماض را از روند خطی نشان می دهند. توجه می کنیم که خطاهای اندازه گیری بسته به انتخاب تابع پنجره در روش دوبلت می تواند بسیار متفاوت باشد. در مقابل، dt اندازه گیری شده با روش موجک (شکل های 5c و d) تنها نوسانات دقیقه ای را نشان می دهد، که نشان دهنده ثبات بهتر در تمام طول زمان تاخیر است.

با رگرسیون خطی d t در زمان گذر t، در شکل 5(e) ما dv/v محاسبه شده برای هر باند فرکانسی را با استفاده از دو روش، و همچنین در وضوح فرکانس بسیار ریزتر با استفاده از روش موجک مقایسه می کنیم. هر دو روش اندازه گیری های بسیار نزدیک به مقدار واقعی (0. 05 درصد) را ارائه می دهند. شکل 5(e) نشان می دهد که روش موجک وضوح فرکانس بهتری را نسبت به روش دوبل ارائه می دهد. علاوه بر این، d v/v اندازه گیری شده با روش موجک تا زمانی که کدا حاوی انرژی کافی باشد، تا فرکانس بالا دقیق تر و قابل اعتمادتر است (در این مورد، ~4. 5 هرتز، همانطور که در شکل 4f نشان داده شده است). اندازه گیری های بالاتر از ~4. 5 هرتز، d v/v به طور سیستماتیک کوچک تر از مقدار واقعی می شوند، زیرا فاز اندازه گیری شده در این فرکانس ها به دلیل نشت طیفی توسط فازهای اندازه گیری شده در فرکانس های پایین تر آلوده می شوند. توجه داریم که اعمال سفید کردن طیفی قبل از محاسبات d t می تواند به کاهش بایاس ناشی از نوسانات در قدرت طیفی شکل موج کمک کند.

3. 2 d v/v وابسته به فرکانس اندازه گیری شده از امواج پراکنده

این مثال مصنوعی کاربرد روش موجک را برای پراکندگی امواج بالستیک برای اندازه گیری تغییرات سرعت وابسته به فرکانس نشان می دهد. همچنین نشان می دهد که چگونه روش موجک می تواند با عبور از چرخه برخورد کند. این روش برای حل و فصل وابستگی به زمان و فرکانس و چرخه از سوء استفاده از فاز نیز برای تکرارهای مدل سرعت در تصویربرداری و توموگرافی مفید است (Fichtner et al. 2008).

علاوه بر CODA ، می توان از امواج مستقیم برای نظارت بر تغییرات سرعت نیز استفاده کرد (لاری و همکاران 1979 ؛ دی ریدر و همکاران 2014 ؛ مردرت و همکاران 2014 ، 2019 ؛ Toyokuni و همکاران 2018 ؛ Brenguier و همکاران 2019). مزایای استفاده از امواج بالستیک از ویژگی های انتشار خوب آنها ناشی می شود ، که بازیابی توزیع مکانی تغییرات سرعت را تسهیل می کند. در این مثال ، ما از امواج سطحی استفاده می کنیم که می توانند از همبستگی های متقابل سر و صدای محیط به خوبی بازسازی شوند (Shapiro & Campillo 2004 ؛ Yao et al. 2006).

با این حال ، مشکلات استفاده از امواج سطحی در پراکندگی و وجود پرش از چرخه نهفته است. روش دوبل برای این وضعیت مناسب نیست ، اما روش موجک می تواند با هر دو چالش مقابله کند. اختلاف فاز 2 بعدی | $

In this case, we adopt a 2-D elastic medium with adequate scattering, but without intrinsic attenuation. This 2-D heterogeneous medium is designed following Frankel & Clayton ( 1986) and Obermann et al . ( 2013), containing a 81.92 by 40.96 km homogeneous background model on which random heterogeneities are superimposed (Figs 4a and b). In the reference (unperturbed) medium, the background model has a uniform P -wave velocity |$> = 6>,>^$|u2060 , a S -wave velocity determined by |$> =>() $ |اندازه گیری شده با روش موجک اجازه می دهد تا در امتداد محور T (برای هر F) باز شود ، که به کاهش مشکل چرخه چرخه کمک می کند. در همین حال ، اندازه گیری های 2-D اجازه می دهد تا دامنه T در هر F به طور خودسرانه تغییر کند ، بر خلاف روش دوبل که در آن فقط در همان محدوده T در کل باند فرکانس قابل استفاده است.<( <3281 cdot>> )^>ما این مزایا را با استفاده از امواج سطح پراکندگی مصنوعی نشان می دهیم (شکل 6A) ، که [مشابه نمونه در Fichtner و همکاران.(2008)] از نظر تحلیلی توسط:

<omega _0>

<phi _>