خطوط تقاطع - توضیحات و مثال ها

اکنون که کلاس های هندسه یا پیشکسوت را می گذرانید ، چندین بار به مفاهیم خطوط تقاطع می پردازید. به همین دلیل ما باید مفاهیم مربوط به خطوط تقاطع را درک کنیم.

در حال حاضر ، بیایید به تعریف سریع خطوط تقاطع شیرجه بزنیم:

خطوط تقاطع خطوطی هستند که در یک نقطه با یکدیگر ملاقات می کنند.

شگفت آور است که چگونه یک تعریف ساده می تواند ما را به شناخت خصوصیات مهم در مورد زاویه ها و سیستم های معادلات خطی سوق دهد. این مقاله به ما کمک می کند تا تعریف ، خصوصیات و کاربردهای خطوط تقاطع را درک کنیم.

تعریف خطوط تقاطع

خطوط تقاطع دو یا چند خط هستند که برای یکدیگر کوپلانار هستند و در یک نقطه مشترک ملاقات می کنند.

سه جفت خط که در بالا نشان داده شده است نمونه هایی از خطوط تقاطع است. ببینید که چگونه هر جفت در نقطه $ boldsymbol $ تقاطع می کند؟ما این را نقطه تقاطع می نامیم. بخش های خط نیز می توانند از هم تقاطع کنند و نقطه تقاطع داشته باشند.

به خاطر داشته باشید که سه یا بیشتر خط می توانند بیش از یک نقطه از تقاطع را به اشتراک بگذارند.

خطوط $ Overline $ ، $ Overline $ و $ Overline $ از یکدیگر تقاطع می کنند ، و همانطور که مشاهده می شود ، سه نقطه تقاطع وجود دارد که توسط خطوط مشترک است.

• خطوط $ overline $ و $ $ $ $ تقاطع در نقطه $ boldsymbol $.
• خطوط $ overline $ و $ $ $ $ تقاطع در نقطه $ boldsymbol $.
• خطوط $ overline $ و $ $ $ $ تقاطع در نقطه $ boldsymbol $.

زاویه های تشکیل شده توسط این خطوط تقاطع (و بخش های خط) دارای خواص جالبی هستند که به زودی در چند بخش بعدی یاد خواهیم گرفت.

برخی از نمونه های دنیای واقعی از خطوط تقاطع چیست؟

یکی از راه های آزمایش درک ما از تعریف خطوط تقاطع ، فکر کردن به نمونه های دنیای واقعی است که نمایانگر خطوط تقاطع است. آیا می توانید به هر چیزی فکر کنید؟در اینجا سه مورد وجود دارد که می توانند به شما در ذکر مثال های بیشتر کمک کنند:

• قیچی ما نمونه های خوبی از اشیاء است که در حال تلاقی یکدیگر و به اشتراک گذاشتن یک نکته مشترک هستند.
• Crossroads همچنین از آنجا که در نقاط تقاطع ملاقات می کنند ، خطوط تقاطع را نیز نشان می دهند.
• خطوط کف نیز از یکدیگر عبور می کنند و نقاط تقاطع را به اشتراک می گذارند.

چگونه می توانیم از خطوط تقاطع در هندسه مختصات استفاده کنیم؟

آیا می خواهید یاد بگیریم که وقتی دو خط یا منحنی در هندسه مختصات تلاقی می کنند چیست؟در زیر فقط برخی از خواصی که ما در مورد خطوط تقاطع روی یک سیستم هماهنگ XY یاد خواهیم گرفت.

• هنگامی که دو نمودار از دو تابع یکدیگر را قطع می کنند، نقطه تقاطع نشان دهنده راه حل زمانی است که هر دو تابع با یکدیگر برابر باشند.
• این همچنین به این معنی است که وقتی دو خط یا نمودار تقاطع پیدا می کنند، معادله آنها یک راه حل خواهد داشت.
• خطوطی که با محورهای $x$ و $y$ تلاقی می کنند حاوی نقطه/های تقاطع هستند و اینها به ترتیب نشان دهنده تقاطع های $x$ و $y$-گراف هستند.

وقتی عمیق تر در توابع غوطه ور شویم و توابع را با استفاده از نمودارها حل کنیم، در مورد تمام این مفاهیم ضروری بیشتر یاد خواهیم گرفت.

در حال حاضر، بیایید ویژگی های مشترک زوایایی که در نقطه تقاطع یافت می شوند را مشاهده کنیم. در بخش های بعدی، نحوه استفاده از آن ها را در حل مسائل کلمه ای که شامل زوایا و خطوط متقاطع می شوند نیز یاد خواهیم گرفت.

ویژگی های زاویه هایی که از خطوط متقاطع تشکیل می شوند

هنگامی که دو یا چند خط قطع می شوند، زوایای مختلفی را در نقطه تقاطع تشکیل می دهند.

برای مثال، خطوط $overline$ و $overline$ در نقطه $x08oldsymbol$ به هم می رسند. آنها همچنین چهار زاویه را در نقطه تقاطع تشکیل می دهند: $angle COA$، $angle COB$، $angle BOD$ و $angle AOD$.

آیا شما نیز به دو جفت زاویه عمودی توجه کرده اید؟اگر در مورد اینکه زوایای عمودی چیست به تجدید نظر نیاز دارید، می توانید این مقاله را که قبلاً در مورد زوایای عمودی نوشتیم بررسی کنید. برای دو خط متقاطع نشان داده شده در بالا، زوایای عمودی زیر را داریم:

• $ زاویه COA$ و $ زاویه BOD$
• $angle COB$ و $angle AOD$

خواص زوایای عمودی و خطی هنوز برای زوایایی که توسط دو خط متقاطع تشکیل شده اند صدق می کند.

وقتی یک خط سوم دو خط متقاطع را در وسط قطع می کند با زاویه ها چه اتفاقی می افتد؟

همین ویژگی ها اعمال می شود و با فرض اضافه زاویه، زاویه ای که با خط متقاطع سوم قطع می شود، دو زاویه ایجاد می کند که به اندازه زاویه متقاطع جمع می شود.

• یعنی مجموع $x08oldsymbol$ و $x08oldsymbol$ برابر با $x08oldsymbol$ است.
• به طور مشابه، $x08oldsymbol$.

آیا می خواهید این مفاهیم را آزمایش کنید؟می توانید چهار خط متقاطع بسازید و نحوه رفتار زوایا را امتحان کنید.

اکنون که ما در مورد تعاریف و ویژگی های خطوط متقاطع یاد گرفتیم، وقت آن است که روی برخی از سوالات کار کنیم تا دانش خود را بررسی کنیم.

مثال 1

عبارات زیر را با یا گاهی، هرگز و همیشه کامل کنید.

1. خطوط موازی می توانند ____________ خطوط متقاطع باشند.
2. خطوط عمود بر هم می توانند ____________ خطوط متقاطع باشند.
3. عقربه های یک ساعت می توانند ____________ نشان دهنده دو خط متقاطع باشند.
4. خطوط متقاطع ______________ بیش از یک نقطه تقاطع خواهند داشت.

هنگام کار با سؤالاتی مانند این، بازگشت به تعریف اصطلاحات مرتبط همیشه مفید است.

• خطوط موازی خطوطی هستند که هرگز به هم نمی رسند، بنابراین هرگز به هم نمی رسند.
• از سوی دیگر، خطوط عمود بر هم 90 درجه تشکیل می دهند، بنابراین همیشه خواهند بود.
• عقربه های ساعتی که در یک نقطه مشترک قطع می شوند همیشه دو خط متقاطع را نشان می دهند.
• برای سه یا چند خط متقاطع، گاهی اوقات ممکن است دو یا چند نقطه متقاطع مشترک باشند.

مثال 2

کدام یک از عبارات زیر صحیح نیست؟

1. سه خط متقاطع می توانند یک نقطه تقاطع مشترک داشته باشند.
2. دو خط متقاطع دو جفت زاویه عمودی را تشکیل می دهند.
3. دو خط متقاطع چهار جفت زاویه عمودی را تشکیل می دهند.
4. سه خط متقاطع هرگز نمی توانند چهار نقطه مشترک مشترک داشته باشند.

بیایید جلو برویم و به هر یک از عبارات داده شده نگاه کنیم.

• این امکان وجود دارد که سه خط متقاطع فقط در یک نقطه مشترک قطع شوند، بنابراین عبارت درست است.
• وقتی دو خط قطع می شوند، چهار زاویه تشکیل می دهند. هر جفت زاویه مقابل هم زوایای عمودی هستند، بنابراین این جمله درست است.
• دو خط متقاطع چهار زاویه و دو جفت زاویه عمودی را تشکیل می دهند. این گفته نادرست است.
• حداکثر تعداد نقاط متقاطع موجود بین سه خط متقاطع سه است، بنابراین غیرممکن است که چهار نقطه مشترک داشته باشیم. پس قول چهارم درست است.

مثال 3

خطی بسازید که خط $overline$ را قطع کند. خط و نقطه تقاطع را علامت بزنید، سپس چهار زاویه را که توسط دو خط متقاطع تشکیل شده است نام ببرید.

خط دومی بسازید که خط $overline$ را قطع کند. در زیر سه جفت خط متقاطع آورده شده است تا شما را در ایجاد جفت خطوط متقاطع راهنمایی کند.

در سه مثال، خط متقاطع $overline$ و نقطه تقاطع را Point $O$ نامگذاری کردیم. راه حل شما ممکن است متفاوت از راه حل های نشان داده شده در بالا به نظر برسد، اما جای نگرانی نیست، تا زمانی که این دو خط قطع شوند، همه آنها خوب هستند.

چهار زاویه تشکیل شده برای خطوط متقاطع عبارتند از $angle AOC$، $angle AOD$، $angle COB$ و $angle BOD$. اگر خطوط خود را متفاوت برچسب گذاری کنید، پاسخی متفاوت از آنچه نشان داده ایم خواهید داشت.

چگونه متوجه می شوید که پاسخ شما صحیح است؟بررسی کنید که آیا نام همه زوایا در وسط حرف یکسانی دارند یا خیر.

مثال 4

ایجاد چهار خط متقاطع که فقط یک نقطه تقاطع مشترک دارند غیرممکن خواهد بود.

با ساختن یک مثال مخالف، اشتباه بودن عبارت را ثابت کنید.

چهار خط متقاطع بسازید که همه در یک نقطه مشترک به هم می رسند.

مثال بالا یک مثال متقابل ممکن برای این عبارت است. با خیال راحت خودتان را بسازید تا نشان دهید که این جمله درست نیست.

برای پاسخ به سوالات 5 تا 7 از تصویر زیر استفاده کنید.

مثال 5

دو جفت خط متقاطع و نقاط تقاطع متناظر آنها را نام ببرید.

در اینجا چند جفت خط وجود دارد که ممکن است از تصویر کشف کنید، و ما نقاط تقاطع آنها را قرار داده ایم.

• خطوط $overline$ و $overline$ در نقطه $x08oldsymbol$ متقاطع هستند.
• خطوط $overline$ و $overline$ در نقطه $x08oldsymbol$ متقاطع هستند.
• خطوط $overline$ و $overline$ در نقطه $x08oldsymbol$ متقاطع هستند.
• خطوط $overline$ و $overline$ در نقطه $x08oldsymbol$ متقاطع هستند.
• خطوط $overline$ و $overline$ در نقطه $x08oldsymbol$ متقاطع هستند.

آیا توانستید دو جفت از لیستی که داریم پیدا کنید؟سعی کنید سه مورد باقیمانده را پیدا کنید تا به شما در تسلط بر این مفهوم کمک کند!

مثال 6

سه پاره خط که نقطه تقاطع مشترک دارند نام ببرید.

به یاد داشته باشید که پاره های خط نیز می توانند قطع شوند. در اینجا دو نمونه از سه پاره خط با یک نقطه تقاطع مشترک به اشتراک گذاشته شده است.

• بخش های خط $overline$، $overline$، و $overline$ در نقطه $x08oldsymbol$ متقاطع می شوند.
• بخش های خط $overline$، $overline$، و $overline$ در نقطه $x08oldsymbol$ متقاطع می شوند.

هنگام برخورد با مشکلاتی مانند این، با پیدا کردن سه پاره خط در خطوط متقاطع شروع کنید. مطمئن شوید که آنها یک نقطه مشترک مشترک دارند.

مثال 7

دو خط متقاطع $angle UAS$ و $angle RAT$ کدامند؟اگر $angle UAS$ برابر با $68^$ باشد، مقدار $angle RAT$ چقدر خواهد بود؟

ترفندی که باید به خاطر بسپارید این است که دو زاویه عمودی که توسط یک جفت خط متقاطع تشکیل شده اند در نقطه مشترک خود به هم می رسند. این بدان معنی است که تقاطع زاویه ها در نقطه $x08oldsymbol$ پیدا می شود.

این به شما کمک می کند دو خطی را که در نقطه $x08oldsymbol$ متقاطع می شوند پیدا کنید. از این رو، خطوط $overline$ و $overline$ را داریم.

از آنجایی که زوایای عمودی همیشه برابر خواهند بود، طبق تعریف، $angle UAS = angle RAT = 68^$.

مثال 8

خطوط $overline$ و $overline$ دو خط متقاطع هستند که در نقطه $overline$ به هم می رسند.

1. چهار زاویه ای که از خطوط متقاطع تشکیل می شود کدامند؟
2. دو جفت زاویه عمودی که توسط دو خط عمودی تشکیل شده اند را فهرست کنید؟
3. اگر $ angle aoc = (2x + 10)^$ و $ angle bod = (3x - 40)^$ ، اندازه زاویه $ angle boa $ چیست؟

دو خط تقاطع را با $ boldsymbol $ به عنوان نقطه تقاطع خود بسازید.

می توانید چهار زاویه را در نقطه تقاطع شکل دهید. این زاویه ها عبارتند از: $ angle aoc $ ، $ angle bod $ ، $ angle aob $ و $ angle cod $.

دو جفت زاویه عمودی را رعایت کنید - هر جفت روبرو یکدیگر.

این بدان معنی است که دو جفت زاویه عمودی عبارتند از:

• $ angle aoc $ و $ angle bod $
• $ angle aob $ و $ angle cod $

از آنجا که $ angle aoc $ و $ angle bod $ زاویه های عمودی هستند ، اقدامات زاویه آنها برابر است. ما می توانیم هر دو عبارت را برای حل X $ $ برابر کنیم.

$ شروع 2x + 10 & = 3 x-40 \ -x & = -50 \ x & = 50 پایان $

اکنون می توانیم اندازه گیری $ angle aoc = 2 (50) + 10 = 110^$ را پیدا کنیم. از آنجا که از ما خواسته می شود $ zangle boa $ پیدا کنیم ، می توانیم ارزش $ angle aoc $ را از 180 $ ^$ کم کنیم. از این رو ، $ angle boa = 70^$.

هنگام کار با خطوط تقاطع و مشکلات کلمه ای که مربوط به آنها است ، همیشه به تعریف و خصوصیات اساسی آن برگردید. برخی از مشکلات تمرین دیگر را در زیر امتحان کنید تا دانش خود را در مورد خطوط تقاطع بیشتر مهار کنید.