فراکتال کم چیست و به چه معنی است؟

دانش آموزان (و معلمان) غالباً مجذوب این واقعیت هستند که برخی از تصاویر هندسی دارای ابعاد کسری هستند. مثلث Sierpinski راهی آسان برای توضیح اینکه چرا باید چنین باشد فراهم می کند.

برای توضیح مفهوم بعد فراکتال ، لازم است که در وهله اول منظور ما از ابعاد چیست. بدیهی است که یک خط دارای ابعاد 1 ، ابعاد هواپیما 2 و ابعاد مکعب 3. اما چرا این است؟جالب است بدانید که دانش آموزان در تلاشند تا چرا این واقعیت ها درست هستند. و سپس: ابعاد مثلث سیرپینسکی چیست؟

آنها غالباً می گویند که یک خط دارای ابعاد 1 است زیرا فقط 1 راه برای حرکت روی یک خط وجود دارد. به همین ترتیب ، هواپیما دارای ابعاد 2 است زیرا 2 جهت وجود دارد که در آن حرکت می کند. البته ، واقعاً 2 جهت در یک خط - عقب و رو به جلو - و بی نهایت بسیاری در هواپیما وجود دارد. آنچه دانش آموزان واقعاً سعی در گفتن دارند این است که 2 جهت مستقل خطی در هواپیما وجود دارد. البته آنها درست هستند. اما مفهوم استقلال خطی کاملاً پیچیده و بیان آن دشوار است. دانش آموزان غالباً می گویند که هواپیما دو بعدی است زیرا دارای "دو بعد" است ، به معنای طول و عرض. به طور مشابه ، یک مکعب سه بعدی است زیرا دارای "سه بعد" ، طول ، عرض و قد است. باز هم ، این یک مفهوم معتبر است ، هرچند که به زبان ریاضی به خصوص دقیق بیان نشده است.

یک مشکل دیگر هنگام تلاش برای تعیین ابعاد منحنی در هواپیما یا در فضای سه بعدی رخ می دهد. یک بحث جالب هنگامی اتفاق می افتد که یک معلم نشان می دهد که این منحنی ها در واقع یک بعدی هستند. اما آنها 2 یا 3 بعد دارند ، دانش آموزان اعتراض می کنند.

پس چرا یک خط یک بعدی و هواپیما دو بعدی است؟توجه داشته باشید که هر دو این اشیاء خودی هستند. ما ممکن است یک بخش خط را به 4 فواصل خودی تقسیم کنیم ، هر کدام با همان طول ، و ECAH که می توان آن را با یک عامل 4 بزرگ کرد تا بخش اصلی را به دست آورد. ما همچنین می توانیم یک بخش خط را به 7 قطعه خودی تقسیم کنیم ، هر کدام با ضریب بزرگنمایی 7 یا 20 قطعه خودی با ضریب بزرگنمایی 20. به طور کلی ، می توانیم یک بخش خط را به قطعات n خود تقسیم کنیم ، هر کدام با بزرگنماییفاکتور n.

یک مربع متفاوت است. ما می توانیم یک مربع را به 4 زیر مربع خودی خود تجزیه کنیم ، و ضریب بزرگنمایی در اینجا 2 است. از طرف دیگر ، می توانیم مربع را به 9 قطعه شبیه به خود با فاکتور بزرگنمایی 3 یا 25 قطعه خودی با ضریب بزرگنمایی 5 تقسیم کنیم. به وضوح ، مربع ممکن است به نسخه های خودی n^2 از خود شکسته شود ، که هر یک از آنها باید توسط یک عامل n بزرگ شوند تا شکل اصلی به دست بیایند. شکل 8 را ببینید. سرانجام ، ما می توانیم یک مکعب را به قطعات خودی n^3 تجزیه کنیم که هر یک از آنها دارای ضریب بزرگنمایی n است.

شکل 8: یک مربع ممکن است به قطعات خودی n^2 شکسته شود ، هر کدام با ضریب بزرگنمایی n

اکنون ما یک روش جایگزین برای مشخص کردن ابعاد یک شیء خودی می بینیم: ابعاد به سادگی نمایانگر تعداد قطعات خودی با فاکتور بزرگنمایی N است که ممکن است شکل در آن شکسته شود.

بنابراین ابعاد مثلث سیرپینسکی چیست؟چگونه می توانیم در این مورد نماینده را پیدا کنیم؟برای این کار ، ما به لگاریتم نیاز داریم. توجه داشته باشید که ، برای مربع ، ما قطعات خود را n^2 داریم که هر یک با ضریب بزرگنمایی n. بنابراین می توانیم بنویسیم

به همین ترتیب ، ابعاد مکعب است

بنابراین ، ما به عنوان تعریف ابعاد فراکتال یک شیء خودی خود در نظر می گیریم

اکنون می توانیم ابعاد s را محاسبه کنیم. برای مثلث Sierpinski از 3 قطعه شبیه خود تشکیل شده است ، هر کدام دارای ضریب بزرگنمایی هستند. بنابراین بعد فراکتال است

بنابراین ابعاد S در جایی بین 1 تا 2 است ، دقیقاً همانطور که "چشم" ما به ما می گوید.

اما یک لحظه صبر کنید ، S همچنین از 9 قطعه خودی با ضریب بزرگنمایی تشکیل شده است. 4 مشکلی نیست-ما داریم

مثل قبل. به طور مشابه ، S به 3^n قطعه خود با فاکتورهای بزرگنمایی 2^n تقسیم می شود ، بنابراین ما دوباره داریم

ابعاد فراکتال اندازه گیری چگونگی "پیچیده" یک شکل خودی است. به معنای خشن ، "چند امتیاز" را در یک مجموعه خاص اندازه گیری می کند. هواپیما "بزرگتر" از یک خط است ، در حالی که S در جایی بین این دو مجموعه قرار دارد.

از طرف دیگر ، هر سه این مجموعه ها تعداد یکسان امتیاز دارند به این معنا که هر مجموعه غیرقابل شمارش است. با این حال ، به نوعی ، ابعاد فراکتال مفهوم "چقدر مجموعه بزرگ" را کاملاً زیبا ضبط می کند ، همانطور که در زیر خواهیم دید.

Robert L. Devaney Sun 2 آوریل 14:31:18 EDT 1995