جادوی پشت دنباله فیبوناچی

بیایید نگاهی به الگوهایی بیندازیم که در اعداد فیبوناچی کشف می شوند و چگونه می توانیم آنها را در اطراف خود پیدا کنیم.

حریم خصوصی و کوکی ها: این سایت از کوکی ها استفاده می کند. با ادامه استفاده از این وب سایت، با استفاده از آنها موافقت می کنید. برای کسب اطلاعات بیشتر، از جمله نحوه کنترل کوکی ها، اینجا را ببینید: سیاست کوکی

در ریاضیات، دنباله های بی شماری مانند دنباله های حسابی، دنباله های هندسی و بسیاری موارد دیگر وجود دارد. دنباله فیبوناچی یکی از آنهاست، اما با دیگر دنباله ها متفاوت است زیرا می توان آن را به راحتی در زندگی روزمره یافت. بیایید نگاهی به الگوهایی بیندازیم که در اعداد فیبوناچی کشف می شوند و چگونه می توانیم آنها را در اطراف خود پیدا کنیم.

در یک دنباله فیبوناچی، هر عدد بعد از دو عدد اول مجموع دو عدد قبلی است.

0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، …

این یک دنباله فیبوناچی است زیرا 2 با جمع کردن دو عدد قبلی، 1 و 1 به دست می آید. بر اساس این قانون، می توان فهمید که عدد بعدی در این دنباله 8 + 13 = 21 خواهد بود.

اعدادی که در دنباله فیبوناچی ظاهر می شوند مانند 1، 2، 3، 5، 8 و غیره به عنوان اعداد فیبوناچی نامیده می شوند. لیستی از اعداد فیبوناچی: 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144، 233، 377، 610، 987، 1597، 2584، 4185، 6710946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, … (A000045)

ما می توانیم این دنباله را با استفاده از نمادها به جای اعداد بنویسیم:

جدول بالا اعداد فیبوناچی را برای عبارت $n$th در دنباله فیبوناچی نشان می دهد. بیایید با استفاده از این معادله عبارت بعدی، $u_9$ را دریابیم.

فرمول دنباله فیبوناچی

راه دیگری برای کشف اعداد فیبوناچی وجود دارد، به غیر از جمع دو عبارت قبلی. در واقع، فرمولی وجود دارد که به راحتی به ما امکان می دهد اعداد فیبوناچی را فقط با جایگزین کردن اعداد پیدا کنیم. پس از اشتقاق نویل هاپلی از عبارت کلی دنباله فیبوناچی، به صورت زیر عمل می کنیم:

بیایید یک عدد فیبوناچی خاص را به عنوان $u_n$ تعریف کنیم. ما فرض می کنیم که $u_n = k x^n$ زیرا اعداد فیبوناچی به صورت نمایی رشد می کنند و یک تابع نمایی را می توان به عنوان $k x^n$ توصیف کرد. از آنجایی که $u_n$ یک عدد فیبوناچی است، مجموع دو عبارت فیبوناچی سابق است.

این را نیز می توان به صورت زیر نوشت:

می توانیم $k$ را با تقسیم کردن همه عبارت ها بر $k$ از معادله بالا حذف کنیم.

این را می توان با تقسیم تمام عبارت ها بر $x^$ ساده کرد.

مقدار x$ را می توان با فرمول درجه دوم اندازه گیری کرد.

Therefore, $displaystyle u_n = k x^n = k_1 left(frac> ight)^n$ or $displaystyle u_n = k x^n = k_2 left(frac>راست)^n$.

مجموع دو مقدار ممکن $u_n$ نیز کار خواهد کرد.

$displaystyle u_n = k_1 left(frac> ight)^n + k_2 left(frac>راست)^n$

Since $u_n$ is a formula for Fibonacci numbers, $u_0$ should be 0 and $u_1$ should be 1. x08egin n&=0&&implies& u_0 = k_1 left(frac> ight)^0 + k_2 left(frac> ight)^0 &= 0\ &&&&k_1+k_2 &= 0\ &&&&k_2 &= -k_1 end x08egin n &= 1 &&implies&u_1 = k_1 left(frac> ight)^1 + k_2 left(frac> ight)^1 &= 1\ &&&&k_1 left(frac> ight) + k_2 left(frac> RIGHT) & = 1 \ پایان دادن به همه شرایط با 2 دلار $ به منظور از بین بردن کسری ، ما دریافت می کنیم:

$ $ k_1 سمت چپ (1 + sqrt راست) + k_2 سمت چپ (1 - sqrt راست) = 2 $ $

از محاسبه قبلی هنگامی که 0 $ $ را برای $ n $ جایگزین کردیم ، معادله $ k_2 = -k_1 $ را استخراج کردیم. بنابراین ما $ k_2 $ را به عنوان $ -k_1 $ در معادله فوق بازنویسی خواهیم کرد. k_1 سمت چپ (1 + sqrt راست) - k_1 سمت چپ (1 - sqrt راست) & = 2 \ k_1 + sqrt k_1 - k_1 + sqrt k_1 & = 2 \ 2 sqrt k_11& = 2 پایان بنابراین ما دریافتیم که: k_1 & = frac<sqrt>\ k_2 & = - frac<sqrt>پایان

چه اتفاقی می افتد که اعداد مربع هستند؟

در حقیقت ، اتفاق بسیار جالب تری رخ می دهد که تعداد آنها مربع باشد.

وقتی به این سکانس جدید نزدیک نگاه می کنیم ، می توانیم الگویی پیدا کنیم.

$ displayStyle (u_n)^2 + (u _)^2 = u_ $

این دنباله نه تنها با مشاهده ، بلکه با استفاده از جبر نیز می تواند حاصل شود. پیش از این ، ما دوره $ N $ از دنباله فیبوناچی را به دست آورده ایم:

In order to justify $displaystyle (u_n)^2 + (u_)^2 = u_$ in a simpler way, I will write $displaystyle frac>$ as $A$ and $displaystyle frac>$ به عنوان $ B $.

$displaystyle u_n^2$ and $displaystyle u_^2$ can be written by using $A$ and $B$: x08egin u_n^2 &= left( frac> ight)^2 = frac 2 A^n B^n + B^>\ u_^2 & = سمت چپ ( frac> ight)^2 = frac 2 A^ B^ + B^> \&= frac imes A^2 2 A^ B^ imes A imes B + B^ imes B^2>پایان

Here $A imes B$ equals $-1$, so: x08egin u_^2 &= frac imes A^2 + 2 A^ B^ + B^ imes B^2>\ u_n^2 + u_^2 &= frac + B^ + A^ imes A^2 + 2 A^ B^ + B^ imes B^2> \&= fracleft( 1 + A^2 ight) + B^left( 1 + B^2 ight)>پایان

بنابراین ، $ displayStyle u_n^2 + u_^2 = u_ $.

بیایید تأیید کنیم که آیا این معادله با جایگزینی برخی از اعداد درست است یا خیر.

$ n = 1 RightArrow Left (u_1 راست)^2 + سمت چپ (u_2 راست)^2 = u_3 راست (1)^2 + (1)^2 = 2 $

$ n = 2 RightArrow Left (u_2 راست)^2 + سمت چپ (u_3 راست)^2 = u_5 راست (1)^2 + (2)^2 = 5 $

$ n = 3 RightArrow Left (u_3 راست)^2 + سمت چپ (u_4 راست)^2 = u_7 RightArrow (2)^2 + (3)^2 = 2 $

الگوی دیگری را می توان هنگام افزودن چند شماره فیبوناچی اول یافت.

$ سمت چپ (u_1 راست)^2 + سمت چپ (u_2 راست)^2 = 1 + 1 = 2 $

$ سمت چپ (u_1 راست)^2 + سمت چپ (u_2 راست)^2 + سمت چپ (u_3 راست)^2 = 1 + 1 +4 = 6 $

$ سمت چپ (u_1 راست)^2 + سمت چپ (u_2 راست)^2 + سمت چپ (u_3 راست)^2 + سمت چپ (u_4 راست)^2 = 1 + 1 +4 + 9 = 15دلار

$ سمت چپ (u_1 راست)^2 + سمت چپ (u_2 راست)^2 + سمت چپ (u_3 راست)^2 + سمت چپ (u_4 راست)^2 + سمت چپ (u_5 راست)^2 2= 1 + 1 +4 + 9 + 25 = 40 $

به نظر می رسد هیچ الگویی در اعدادی که از اضافه کردن مربع شماره های فیبوناچی دریافت کرده ایم ، وجود ندارد. با این حال ، به عوامل این اعداد نگاهی بیندازید:

عوامل دو عدد فیبوناچی متوالی هستند. یک معادله می تواند از این الگوی حاصل شود.

$ سمت چپ (u_1 راست)^2 + سمت چپ (u_2 راست)^2 + سمت چپ (u_3 راست)^2 + ldots + سمت چپ (u_ راست)^2 + سمت چپ (u_ راست راست)^2 + سمت چپ (u_n راست)^2 = u_n times u_ $

برنامه های توالی فیبوناچی

توالی فیبوناچی را می توان در شرایط ریاضی و همچنین موقعیت های غیر ریاضی یافت. در مورد شرایط ریاضی ، توالی فیبوناچی را می توان در مثلث پاسکال تشخیص داد. مثلث پاسکال معمولاً به احتمال زیاد ، ترکیبی یا جبر استفاده می شود. با این حال ، یافتن اعداد فیبوناچی در این مثلث امکان پذیر است ، اگرچه دیدن آنها کاملاً چالش برانگیز است.

شماره های فیبوناچی را می توان در هنگام اضافه کردن اعداد موجود در مورب های "کم عمق" در مثلث پاسکال مشاهده کرد.

مبلغ اعداد در مورب کم عمق اول: 1 $ مبلغ اعداد در مورب کم عمق دوم: 1 $ مبلغ اعداد در مورب کم عمق سوم: 1 $ 1+1 = 2 $ مبلغ اعداد در قطر کم عمق چهارم:$ 1+2 = 3 $ مبلغ اعداد موجود در قطر کم عمق پنجم: 1 $+3+1 = 5 $ مبلغ اعداد موجود در مورب کم عمق: 1 $ 1+4+3 = 8 $

1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 و 8 همه شماره های فیبوناچی متوالی هستند.

در حقیقت ، توالی فیبوناچی معمولاً در طبیعت یافت می شود.

به عنوان مثال ، این آناناس دارای 13 مارپیچ در جهت عقربه های ساعت و 8 مارپیچ در جهت عقربه های ساعت است. 13 و 8 تعداد فیبوناچی مجاور هستند.

تعداد گلبرگهای گل اغلب اعداد فیبوناچی هستند.

جدول فوق بسته به تعداد گلبرگ ها ، نوع گلها را نشان می دهد.

به غیر از آناناس و گلبرگهای گل ، موقعیت های بیشتری وجود دارد که می توانید با یک دنباله فیبوناچی روبرو شوید. آنها ممکن است در شهر شما ، خانه شما یا حتی داخل اتاق شما باشند! با دقت به اطراف خود نگاه کنید. ممکن است شماره های فیبوناچی را در جایی پنهان کنید. در جایی ، شاید درست در کنار شما.

Doyeon Jang یک دانش آموز کلاس 10 است که در Branksome Hall Asia ، یک مدرسه بین المللی واقع در کره تحصیل می کند. او علاقه مند به کشف ریاضیات در زندگی روزمره و فکر کردن در مورد برنامه های مختلف ریاضیات است.